Реферат: Основные теоремы математического анализа

 Окрестностью точки Хо называется любой интервал, содержащий эту точку. Проколотой окрестностью точки Хо называется окрестность точки Хо, из которой выброшена сама точка. Окрестностью "+" бесконечности называется любой полубесконечный промежуток вида (а; +). Окрестностью "-" бесконечности называется любой полубесконечный промежуток вида (-; b). Окрестностью бесконечности называется объединение двух любых окрестностей + и -. Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности точки Хо, если для любого числа > 0 существует проколотая окрестность точки Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего проколотой окрестности точки Хо выполняется неравенство іf (х) і< > 0 U U => іf(x) і<. Число А называется пределом функции f(х) в точке Хо, если в некоторой проколотой окрестности этой точки функцию f(х) можно представить в виде f(х) = А + (х), где (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо. Limf (x) = А Функция f(х) называется непрерывной в точке Хо, если в некоторой окрестности точки Хо эту функцию можно представить в виде: f (х) = f (х) + (х), где (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо. Иными словами, f (х) — непрерывна в точке Хо, если она в этой точке имеет предел, и он равен значению функции.   Теорема Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения. Схема: 1.               функция элементарна 2.               определена 3.               непрерывна 4.               предел равен значению функции 5.               значение функции равно 0. 6.               можно представить в виде бесконечно малого.   Свойства бесконечно малых Теорема 1 Единственная константа является бесконечно малым.   Теорема 2 Если (х) и (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо, то их сумма тоже бесконечно малое в этой окрестности. Функция f (х) называется ограниченной в окрестности точки Хо, если существует проколотая окрестность точки Хо и число М > 0 такие, что іf (х) і < М в каждой точке проколотой окрестности точки Хо. U M > 0: іf (x) і   Теорема 3 Если (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо, то она ограничена в этой окрестности.   Теорема 4 Если функция (х) бесконечно малое, а f (х) — ограниченная в окрестности точки Хо, то (х) * f (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо.   Теорема 5 Если (х) и (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо и (х) < (х) < (х) — 2 в окрестности точки Хо U, то (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо. Две бесконечно малые называются сравнимыми, если существует предел их отношения. Бесконечно малые (х) и (х) в окрестности точки Хо называются одного порядка, если предел их отношений есть число не равное 0. Две бесконечно малые в окрестности точки Хо называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1.