Реферат: Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЛОВ.

Задачи различных областей человеческой деятельности зачастую сводятся к решению определенного интеграла, где f(x) - функция, непрерывная на отрезке [a; b], по формуле Ньютона-Лейбница. Если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления данного интеграла применяют приближенные формулы, т.е. используют метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла необходима помнить следующее: если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то результат вычисления будет численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции.

Покажем на примере: разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Точки деления будут: x ₀ =a; x ₁ =a+h; x ₂ =a+2*h, ... , x _n-1 =a+(n-1)*h; x _n =b. Числа y ₀ , y ₁ , y ₂ , ... , y _n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x ₀ , x ₁ , x ₂ , ... , x _n .Построить прямоугольники можно воспользовавшись несколькими методами:

• Левые прямоугольники (построение слева на право)

• Правые прямоугольники (построение справа на лево)

• Средние прямоугольники (построение посредине)

Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяют площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников.

Сделаем вывод: вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников, где h=(b-a)/n –ширина прямоугольников.

Формула средних прямоугольников: S _средих = (S _правых + S _левых ) /2

МЕТОД ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ.

Создадим программу решения интегралов методом левых прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее…

Program levii;{Метод левых прямоугольников}
uses crt;
var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;
function f(x:real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
write('Введите количество отрезков '); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;
writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S= 18,077

a=1 b=2 n=20 S= 18, 208

a=1 b=2 n=100 S= 18, 270

МЕТОД СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

Создадим программу решения интегралов методом средних прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее…

Program srednii; {Метод средних прямоугольников}
uses crt;
var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb : real;
function f(x : real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
write('Введите количество отрезков '); readln(n);
dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end;
write('Интеграл равен ',s:15:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S=18,07667

a=1 b=2 n=20 S=18,368

a=1 b=2 n=100 S= 18,156

ВЫВОДЫ

Из рассмотренных выше примеров легко заметить, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников мы не можем достигнуть точного значения, т.е. чем больше значение n, тем точнее значение интеграла.