Сыктывкарский государственный университет
Кафедра математического анализа
Методические указания по курсу “Математика”
для студентов I курса исторического факультета
(заочное отделение)
Преподаватель Попова Н.А.
Сыктывкар 2001
Учебный план по курсу “Математика”
для I курса исторического факультета (заочное отделение)
на 2001-02 уч.год преподавателя Поповой Н.А.
I семестр. Лекции (4 часа)
-
Краткий исторический очерк развития математики. Обзор литературы.
-
Множества, элементы комбинаторики, введение в теорию вероятностей и математическую логику, знакомство с графами.
Консультация (1 час). Методические указания к выполнению контрольной работы.
Задания для самостоятельной работы:
-
Контрольная работа (5 задач. См. приложение 1).
-
Подготовка (написание) реферата по выбранной теме (список тем – приложение 2).
II семестр. Практические занятия (12 часов). Решение задач.
-
Множества. Элементы комбинаторики.
-
Элементы теории графов и математической логики.
-
Элементы теории вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия, их применение в математической статистике.
-
Функции и их графики.
Семинары.
5–6. Некоторые вопросы истории развития математики (основные вехи развития общества и развития математики).
Консультации (к зачету) – 13 часов.
Зачет ставится с учетом оценок за:
-
контрольную работу,
-
реферат (по индивидуальной теме),
-
участие в работе практических занятий (общая оценка за 6 занятий),
-
ответы на вопросы зачета по двум частям (2 вопроса, приложение 3).
Список основной литературы:
-
Ловягин Ю.Н., Матвеева О.П. Математика. Учебное пособие для студентов нематематических специальностей. Ч.1. Дифференциальное и интегральное исчисления. Сыкт-р. СГУ, 1998. 73 с. Ч.2. Теория вероятностей. Графы. СГУ, 1999. 64 с.
-
Матвеев И.В. Функции и их графики. М. МГУ, 1970. 104 с.
-
Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М. Просв., 1968. 230 с.
-
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М. Просвещение, 1990. 416 с.
-
Шиханович Ю.А. Введение в современную математику (Начальные понятия). М. Наука, 1965. 376 с.
-
Головач П.А. Введение в теорию графов. Сыктывкар. СГУ, 1993.
-
Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Введение в теорию вероятностей. М. Физматгиз, 1982. 160 с.
-
Колмогоров А.Н., Журбенко И.Т., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. М. Физматгиз, 1982.
-
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М. Наука, 1984. 320 с.
-
Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. Учебное пособие. М. Наука, 1989. 576 с.
-
Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М. Наука, 1978. 336 с.
-
Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. Пособие для учителя. М. Просвещение, 1987. 159 с.
Приложение 1.
Контрольная работа по математике
для I курса исторического факультета СГУ (заочное отделение)
Задание 1. (Множества. Комбинаторика.)
-
Составить множества различных букв. А – своего полного имени, В – своего отчества, С – своей фамилии.
-
Найти объединение и пересечение множеств А и В.
-
Найти дополнения к С до А и к А до С.
-
Проверить на диаграммах, верно ли равенство: .
-
Вычислить, сколько элементов имеет декартово произведение множеств А и В, изобразить их точками плоскости.
-
Сколько различных аббревиатур можно составить из всех букв множества С? В каждой из аббревиатур использовать каждую букву из множества С только по одному разу (т.е. без повторений).
-
Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из букв множества В, если слова составляются из разных букв (без повторений)? Что собой представляют наборы букв этих слов – сочетания или размещения?
-
Сколько различных подмножеств (всех) имеет множество А?
Пример решения такой задачи. Пусть автор – Пафнутий Львович Чебышёв (будем считать е и ё за одну и ту же букву). Тогда
1) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, И, Ч}, С={Ч, Е, Б, Ы, Ш, В}.
2) = {П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, Л, Ь, В, О, Ч}. ={И}.
-
Т.к. , то и .
-
{П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.
{П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.
Ответ: Т.к. получилось одно и то же множество, то равенство верно.
5) . Ч
И
О
В
Ь
Л
П А Ф Н У Т И Й
6) Так как аббревиатуры составляются из всех букв множества С и без повторений, то их количество равно множеству порядков на множестве С: .
7) Т.к. при перестановке букв в слове получаются другие (новые) слова (например, ЛОВ и ВОЛ), то наборы букв для слов – это размещения, т.к. важен порядок выбора букв. Всех размещений из букв множества В по 3 - . Но нет слов, начинающихся с буквы “ь”, поэтому такие наборы надо исключить, их количество равно . Тогда различных трехбуквенных слов .
Ответ: 100.
8) Т.к. , то количество подмножеств - .
Задание 2 (Графы)
Пусть множество А из предыдущего задания есть множество обозначений вершин для построения графов, т.е. множества точек V.
-
Изобразить вершины графа точками, обозначить их и соединить ребрами так, чтобы получился а) полный граф - , б) двудольный граф - , в) полный двудольный граф - , г) регулярный граф - (указать его степень), д) односвязный граф с одним “мостом” - , е) непростой граф - (т.е выполнить не менее шести рисунков).
-
Найти среди изображенных графов а) эйлеров граф, б) полуэйлеров граф, в) граф, имеющий циклы (если они есть на рисунках, подписать их; если нет, то изобразить такие графы).
-
Из множеств А, В и С предыдущей задачи выбрать множество с наименьшим числом букв (элементов) и, считая их вершинами графа, изобразить все возможные деревья с вершинами во всех этих точках.
Например.
b
a c полный граф с пятью вершинами; он же регулярный
(однородный), степень вершин r = 4; а также он эйлеров;
l d односвязный.
n двудольный и двусвязный граф; (двудольный -
m неполный).
l
k o
p q
s
t u непростой, односвязный с одним “мостом”,
полуэйлеров граф.
x v
z w
y
Задание 3 (Теория вероятностей)
Возьмем множества А и В из задания 1. Пусть каждая из букв написана на отдельной карточке и множества А и В – это две колоды карточек (все карточки положены буквами вниз, их не видно).
Вычислить вероятность того, что при выборе наугад по одной карточке из каждой колоды будут вынуты а) 2 одинаковые буквы; б) 2 разные буквы; в) хотя бы одна из букв такая, какую Вы задумали заранее (укажите, какую именно; если есть разные варианты решения, то покажите все решения).
Например, ) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, В, И, Ч}. Тогда: а) общая буква только одна – И; вероятность ее выбора из А равна , вероятность ее выбора из В равна ; вероятность ее выбора из А и из В – (правило произведения); б) т.к. во всех остальных случаях буквы будут различны, то вероятность выбора двух разных букв равна (можно ее найти и другим способом); в) если задумана буква “И”, то вероятность ее выбора хотя бы из одной колоды – это 3 случая: “И” из А и любая другая буква из В, “И” из В и любая другая буква из А, а также “И” – из А и В; сложив вероятности, получим: . Аналогично для других букв (2 случ.).
Внимание! В заданиях 4 и 5 каждый студент должен выполнить свой вариант. Номер варианта соответствует Вашему номеру зачетной книжки следующим образом: а) если две последние цифры номера зачетной книжки составляют число не больше тридцати, то это и есть номер Вашего варианта; б) если две последние цифры составляют число большее тридцати, то из него следует вычесть 30 столько раз, сколько возможно; остаток и есть номер Вашего варианта; если две последние цифры номера зачетной книжки 60 ли 90, то Вы выполняете вариант 30. Например, номер зачетной книжки …41 – вариант 11, т.к. 41=30+11, …62 – вариант 2, …97 – вариант 7; …208 – т.е. …08 – вариант 8.
Задание 4 (Математическая логика).
А. В вариантах 1 – 15 составить таблицу истинности формулы:
1. x y ( y x y); 2. (x y ) ( x y) y);
3. y x ( y x x); 4. x y ( x y y );
5. x ( x y y x); 6. (y x ( x y)) x y;
7. (x y) (x y); 8. x ( y y (x y));
9. x y y ( x y); 10. x ( y x y);
11. x ( y x ( x y)); 12. (x y) ( y x);
13. ( x y) ( x (y x)); 14. x ( y x) ( x y));
15. (x y) ( x y) y;
Б. В вариантах 16-30 проверить, является ли формула тавтологией:
16. (y (x y)) ( x ( y x)); 17. ( x y) ( y x);
18. x ( x y ) y); 19. x ( x ( y x ));
20. x (( y x) x); 21. (x y) x y ( x y);
22. x y ( x y); 23. ( x y y ) x y;
24. ( x y x ) x y; 25. (x y) ( y x);
26. (x y) ( y x); 27. x y (x y x);
28. x y ( y x) x; 29. x ( y x y );
30. x ( y ( x y)).
Примеры. А. Составить таблицу истинности формулы
(x y) (x y)) x y.
Решение. Порядок выполнения действий:
x t
z
y v
x | y | y | x y | z y (x y) | t (x z) | v ( x y ) | Ответ: t v |
И И Л Л | И Л И Л | Л И Л И | И И И Л | Л И Л Л | Л И И И | И И Л И | Л И Л И |
Б. Проверить, является ли формула (x y) (x y)) (x y) тавтологией.
Решение (аналогично решению предыдущей задачи, отличается лишь v: x y.
x | y | y | x y | z y (x y) | t x z | v x y | Ответ: t v |
И И Л Л | И Л И Л | Л И Л И | И И И Л | Л И Л Л | Л И И И | Л И И И | И И И И |
Ответ: да, тавтология.
Задание 5.
Построить график дробно-рациональной функции (варианты 1-30), предварительно исследовав ее по следующему плану:
-
найти область определения функции (для этого можно преобразовать формулу, разложив числитель и знаменатель на множители);
-
если есть точки разрыва, то выяснить, есть ли в них вертикальные асимптоты (для этого найти в этих точках пределы функции слева и справа);
-
найти наклонные или горизонтальные асимптоты (для этого преобразовать формулу функции, выделив целую часть из дроби);
-
проверить, не обладает ли функция частными свойствами: а) четностью или нечетностью, б) периодичностью (если нет, то доказать, пояснить это);
-
найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства, если точки пересечения с осью легко находятся;
-
найти производную и критические точки;
-
по знаку производной выяснить интервалы возрастания и убывания функции и что она имеет в критических точках;
-
изобразить систему координат (в соответствии с исследованными свойствами) и отметить в ней все найденные точки, изобразить асимптоты; для уточнения вида графика найти координаты нескольких дополнительных точек; отметить их и нарисовать график;
-
если в п.5 не были найдены точки пересечения графика с осью (нули функции), то найти их теперь по графику;
-
найти область изменения функции (по графику и исследованным свойствам).
Варианты:
-
; 11) ; 21) ;
-
; 12) ; 22) ;
-
; 13) ; 23) ;
-
; 14) ; 24) ;
-
; 15) ; 25) ;
-
; 16) ; 26) ;
-
; 17) ; 27) ;
-
; 18) ; 28) ;
-
; 19) ; 29) ;
-
; 20) ; 30) .
Пример. Исследовать функцию .
Решение. 1) = = при (корни квадратного трехчлена найдены по обратной теореме Виета (в уме)),
значит, .
-
а) при слева ; (1)
| -8 | -7,5 | -7,1 | … |
| -90 | -159,5 | -719,1 | … |
при справа ; (2)
| -6 | -6,5 | -6,9 | … |
| 52 | 121,5 | 681,1 | … |
Значит, - вертикальная асимптота;
б) при (и слева и справа) ;
асимптоты нет; - исключенная точка (т. разрыва). (3)
-
В
; т.к. при , то
; таким образом, прямая - наклонная асимптота.
-
Исследуем на четность:
; видим, что: и , т.е. и , значит, общего вида (не обладает ни четностью, ни нечетностью); не является периодической как дробно-рациональная функция (многочлены – непериодические функции).
-
а) при ; значит,
- точка пересечения графика с осью ординат; (4)
б) при , но , т.е. при или , т.о.
и - точки пересечения графика с осью абсцисс. (5)
С учетом точек разрыва и найденных значений функции (по (1), (2), (3) и (4), (5)) получаем: при ; при ;
при ; при .
-
(использована формула: );
а) нет критических точек, где не существует, т.к. не имеет значе-
ния только при , но ;
б) при и , т.е. при ; ;
значит, и - критические точки, а
; .
7)
| | | | | | | | |
| + | 0 | - | нет зн. | - | 0 | + | + |
| | | | нет зн. | | | | |
выводы | от до | max | от до | вертик. асимпт | от до | min | от до | от до |
Т.к. прии , то преобразуем формулу ; тогда
; ;
; поэтому , ; , .
8);
| -17 | -14 | -12 | -3 | 3 | 8 | 13 |
| -36 | -36 | -38 | 2,5 | -2 | 2/3 | 4,5 |
9) см. 5).
10) .
5 y
-21 -17 -14 -12 -7 -2 0 7 12 x
-2
-12
-36
-38
-40
Приложение 2.
Темы рефератов
-
Возникновение понятия числа; первые системы счисления.
-
Математика в Древнем Египте.
-
Математика в Древней Месопотамии (Шумер, Вавилон, Ассирия).
-
Математика в Древнем Китае.
-
Математика в Древней Греции (1 тысячелетие до н.э.).
-
Пифагор. *
-
Аристотель.
-
Евклид.
-
Архимед.
-
Математика Древней Греции и Древнего Рима (начало новой эры – I-V века; Александрийская школа).
-
Средневековье. Математика в Индии.
-
Математика в Средней Азии (VIII-XIII века, Улугбек, Омар Хайам и др.).
-
Математика в древней Руси (VIII-XIII века).
-
Математика в эпоху Возрождения (Западная Европа; XII-XV века).
-
Леонардо Пизанский (Фибоначчи). XV век.
-
Леонардо да Винчи. XV век.
-
Франсуа Виет. XVI век.
-
Джон Нэпер (Непер). XVI век.
-
Кардано и Тарталья. XVI век.
-
Коперник, Тихо Браге, Кеплер, Галилей. XVI век.
-
Рене Декарт. XVII век.
-
Блез Паскаль. XVII век.
-
Исаак Ньютон. XVII век.
-
Г.В.Лейбниц. XVII век.
-
Пьер Ферма. XVII век.
-
Даламбер. XVIII век.
-
Леонард Эйлер. XVIII век.
-
Ж.Л.Лагранж. XVIII век.
-
А.М.Лежандр. XVIII век.
-
Г.Монж. XVIII век.
-
П.С.Лаплас. XVIII век.
-
Математика в России XVII-XVIII веков (Роль реформ Петра I; Екатерина II).
-
М.В.Ломоносов.
-
Знаменитые задачи древности (об удвоении куба, о трисекции угла, о спрямлении окружности) и их разрешение (вплоть до XVIII века).
-
К.Ф.Гаусс.
-
Различные доказательства V постулата Евклида (до XIX в. н.э.).
-
Н.И.Лобачевский
-
Основные первоначальные факты геометрии Лобачевского, модели плоскости Лобачевского.
-
Нильс Абель. XIX век.
-
Эварист Галуа. XIX век.
-
Огюстен Коши. XIX век.
-
Карл Вейерштрасс. XIX век.
-
М.В.Остроградский. XIX век.
-
П.Л.Чебышёв. XIX век.
-
С.В.Ковалевская. XIX век.
-
Ф.Клейн. XIX век.
-
А.Пуанкаре. XIX век.
-
Г.Кантор. XIX век.
-
Б.Риман. Конец XIX века.
-
Д. Гильберт. Конец XIX века.
-
Французская математическая школа (XVII-XX в.в.).
-
Немецкая математическая школа (XVII-XX в.в.).
-
Английская математическая школа (XVII-XX в.в.).
-
Российская математическая школа (XVIII-началоXX в.в.).
-
Советская математическая школа.
-
Американская математическая школа (XIX-X X в.в.).
-
Н.Винер.
-
А.Н.Колмогоров.
-
Математика XX века; основные направления развития.
-
Основные стадии развития науки; основные черты современной математики и ее роль в развитии общества.
Примечание. Дополнительная литература к работе над рефератом не указана, т.к. подбор литературы входит как часть в самостоятельную работу студента (этому надо научиться). В пособии Д.Я.Стройка [11] в конце каждой главы есть список рекомендуемой литературы. Можно использовать то, что найдется в личной библиотеке или в ближайшей общественной, в т.ч. и статьи из журналов “Квант”, “Математика в школе” и других периодических изданий, а также энциклопедические словари.
Приложение 3.
Вопросы к зачету по курсу “Математика”
для студентов I курса исторического факультета СГУ
Часть 1. Математика.
-
Понятие множества; элементы множества; мощность множества; отношения принадлежности и включения. Виды множеств.
-
Числовые множества.
-
Операции над множествами, их свойства.
-
Соответствия между элементами множеств, их виды (в т.ч. отображения и биекция).
-
Функции, их исследование.
-
Понятие графа. Виды графов, их применение.
-
Понятие о комбинаторной задаче. Правила суммы и произведения.
-
Порядок на множестве. Количество всех порядков множества мощности . Перестановки из элементов.
-
Подмножества из элементов по . Сочетания. Количество всех подмножеств множества, содержащего элементов.
-
Упорядоченные подмножества из элементов по . Размещения. Связь размещений и сочетаний. Количество размещений и количество сочетаний из по . Размещения с повторениями.
-
Свойства сочетаний, их применение.
-
Случайные события. Достоверные и невозможные события. Испытание, элементарный исход, полная система исходов. Относительная частота и вероятность наблюдаемого события.
-
Совместные и несовместные, зависимые и независимые события. Правила суммы и произведения.
-
Случайные величины. Функция распределения случайных величин. Математическое ожидание.
-
Дисперсия. Закон больших чисел.
-
Высказывания; высказывательные формы; кванторы общности и существования. Область отправления и множество истинности высказывания.
-
Логические операции над высказываниями (логические связки), порядок их выполнения в сложной формуле.
-
Отрицания логических связок.
-
Свойства дизъюнкции и конъюнкции.
-
Свойства импликации и эквивалентности.
Часть 2. История математики.
-
Этапы развития науки; роль математики в развитии наук и особенности ее развития.
-
Возникновение основных математических понятий (число, фигура,…).
-
Обозначения чисел и системы счисления у разных народов.
-
Математика в древних Месопотамии и Египте. Математика в древних Китае и Индии.
-
Математика в Древней Греции и Древнем Риме.
-
Математика в Средние Века (Средняя Азия).
-
Математика в древней Руси.
-
Математика средних веков в Западной Европе.
-
Математика Эпохи Возрождения.
-
Математика Западной Европы в XVII веке.
-
Математика в России в XIV-XVII в. (влияние татаро-монгольского ига и отношений с Западной Европой).
-
Развитие математики в XVIII веке в Западной Европе.
-
То же – в России.
-
Возникновение дифференциального и интегрального исчислений; их развитие.
-
Геометрия – XIX век.
-
23 проблемы, поставленные Гильбертом, их решение.
-
Основные ветви математики, их зарождение и роль в настоящее время (алгебра, теория чисел, теория вероятностей, тригонометрия,…).
-
Кибернетика и информатика.
-
Основания математики и математическая логика.
-
Основные черты современной математики и пути ее развития.
Сентябрь 2001 года Н.А.Попова
**) Здесь и далее имя ученого означает, что требуется изложить сведения о его жизни и его вкладе в историю развития математики.
10