Реферат: Вынужденные колебания

 Вначале рассмотрим затухающие колебания. Во всякой реальной колебательной системе всег да имеется сила трения (для механической систе мы ), или электрическое сопротивление (для колебательного контура ), действие которых приводит к уменьшению энергии системы . Если убыль этой энергии не восполняется , то колебания будут затухать. Рассмотрим механи ческие колебания . В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости. . (1.1) Где r — постоянная , которая называется коэффициентом трения . Знак минус обуслов лен тем , что сила F и скорость v направлены в про тивоположные стороны. Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид . (1.2) Пр именим следующие обозначения , (1.3) Тогда (1.4) Где щ 0 — собственная частота коле бательной системы. Будем искать решение уравнения в виде (1.5) Найдём первую и вторую производные Подставим выражения в уравнение (1.5) Сократим на (1.6) Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэф фициента , стоящего при и . Рассмотрим случай , когда этот коэффициент положителен (т . е . < щ 0 — тре ние мало ). Введя обозначение , придем к уравнению Решением этого уравнения будет функция Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем (1.7) Здесь A 0 и б — постоянные , значения которых зави сят от начальных условий , щ — величина , определяе мая формулой . Скорость затухания колебаний определяется ве личиной , которую называют коэффи циентом затухания . Для характеристики колебательной системы употребляется также величина называемая добротностью колебательной си стемы . Она пропорциональна числу колебаний N e , совершаемых системой за то время t , за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Вынужденные колебания. Допустим , что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы , изме няющейся со временем по гармоническому закону : (2.1) В этом случае у равнение второго закона Ньютона имеет вид Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнение приобретёт вид : (2.2) Здесь — коэффициент затухания , щ 0 — собственная частота колебательной системы , щ — ч астота выну ждающей силы. Дифференциальное уравнение (2.2) описывает в ынужденные колебания . Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения . Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид (2.3) Где . Попробуем найти частное решение (2.2) в виде (2.4) где — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями . (2.5) (2.6) Развернем и по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2 ) : Сгруппируем члены уравнения : (2.7) Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда , когда коэффициенты при cos щ t и sin щ t в обеих частях уравнения будут оди наковыми. (2.8) (2.9) Найдём значения A и при которых функция (2.4) удовлетворяет уравне нию (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом (2.10) Из (2.9) следует , что (2.11) П одставим значения A и в (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2): (2.12) Общее решение имеет вид Первое слагаемое играет за мет ную роль только в начальной стадии процесса , при установлении колебаний . С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается , и по прошест вии достаточного времени им можно пренебречь , со хранив в решении только второе. Завис имость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому , что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения . Колебательная система оказы вается особенно отзывчивой на действие вынуждаю щей силы при данно й частоте . Это явление называет ся резонансом , а соответствующая частота — резонансной частотой . Для того чтобы определить резонансную частоту щ рез , нуж но найти максимум функции (2.10), т.е . продифференцировать это выражение по щ и приравняв производную ну лю : Решения этого уравнения щ =0 и , но два из них исключаютс я , т.к . решение , равное нулю , соответст вует максимуму знаменателя , а не имеет физического смысла ( частота не может быть отрицательной ). (2.13). Следовательно (2.14) Зависимость амплиту ды вынужд енных колеба ний от частоты ко лебаний показана графически на рисунке слева . Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра . Чем меньше , тем выше и правее лежит максимум резонансн ой кривой . При очень большом затухании (таком , что 2 > щ 0 ) выражение для ре зонансной частоты становится мнимым . Это означает , что резонанс в этом случае не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает. Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми. Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т . е . при << щ 0 ) амплитуда при резонансе Если разделить это выражение на смещение x 0 из положе ния равновесия под действием постоянной силы F 0 , равное . В результате получим , что где - логарифмический декремент затухания. Следовательно , добротность Q показывает , во сколько раз амплитуда при резо нансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы , модуль которой равен амплиту де вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании ). Лит-ра : И . В Савельев “Курс общей физики”. P . S . Данная лит-ра использовалась также при написании реферата на тему “Сложение колебаний”.