D 1 : x= - a/e
D 2 : x= a/e
р=а(1-е 2 )/е – для эллипса
р=а(е 2 -1)/е – для гиперболы
ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).
Доказательство: для эллипса.
r 1 /d 1 =e
x ? |a|, xe+a>0
r 1 =xe+a
d 1 – расстояние от М(x,y) до прямой D 1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
б м =-x-a/e
d 1 =-б м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)
Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1>1, параболу, если =1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.
r= r
d=p+ r cos j
e= r /p+ r cos j
- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М 0 (x 0 ;y 0 ) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:
у-у 0 =y’(x 0 )(x-x 0 )
Рассмотрим касательную к кривой следовательно
ya 2 y 0 -a 2 y 0 2 +b 2 x 0 x-b 2 x 0 2 =0
- уравнение касательной к эллипсу.
- уравнение касательной к гиперболе.
- уравнение касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:
(е 1 ;е 1 ’)=cos u
(е 1 ;е 2 ’)=cos (90+u)= -sin u
(е 2 ;е 1 ’)=cos (90-u)=sin u
(е 2 ;е 2 ’)=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е 1 ;е 1 ’)=(е 1 , a 11 е 1 + a 12 е 2 )= a 11
(е 1 ;е 2 ’)= (е 1 , a 21 е 1 + a 22 е 2 )= a 21
(е 2 ;е 1 ’)= a 12
(е 2 ;е 2 ’)= a 22
Приравниваем:
a 11 =cos u
a 21 = - sin u
a 12 =sin u
a 22 =cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ - формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I 1 ; I 2 ; I 3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I 2 >0 – элиптический тип
I 2 <0 – гиперболический тип
I 2 =0 – параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:
a 11 x’ 2 +2a 12 x’y’+a 22 y’ 2 +a’ 33 =0 (2)
точка О’ находится из условия: a 13 ’=0 и a 23 ’=0.
Получается система a 11 x 0 +a 12 y 0 +a 13 =0 и a 12 x 0 +a 22 y 0 +a 23 =0
Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели у x 0 и y 0 отличны от нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I 2 ? 0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а 12 =0. a 12 ’= -0,5(a 11 -a 22 )sin2u+a 12 cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:
, после такого преобразования уравнение принимает вид
a 11 ’x’ 2 +a 22 ’y’ 2 +2a 13 ’x’+2a 23 ’y’+a 33 ’=0 (3)
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I 2 >0 и пусть I 1 >0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I 3 <0 – эллипс; 2. I 3 =0 – точка; 3. I 3 >0 – ур-е (1) не определяет. Если I 3 =0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I 3 >0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I 2 >0, I 1 >0, I 3 <0, тогда
а 11 ’’x’’ 2 +a 22 ’’ y’’ 2 = -I 3 /I 2
I 2 =a 11 ’’a 22 ’’ > 0
I 1 = a 11 ’’+a 22 ’’ > 0
a 11 ’’ > 0; a 22 ’’ > 0
Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.
2. I 3 >0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.
3. I 3 =0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I 2 <0, I 3 ? 0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I 3 =0 – пару пересекающихся прямых.
Доказательство: I 2 <0; I 2 = a 11 ’’a 22 ’’ < 0. Пусть a 11 ’’>0; a 22 ’’<0
Пусть I 3 >0
В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.
Пусть I 3 <0
-(-а 11 ’’)x’’ 2 +a 22 ’’ y’’ 2 = -I 3 /I 2
В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY
Пусть I 3 =0
а 11 ’’x’’ 2 -(-a 22 ’’)y’’ 2 =0
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a 11 x 2 +2a 12 xy+a 22 y 2
Определение: ненулевой вектор ( a , b ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.
( a , b ) – вектор асимптотического направления.
a 11 a 2 +2a 12 a b +a 22 b 2 =0 (*)
Рассмотрим ( a ’, b ’) параллельный ( a , b ): следовательно . Дробь a / b характеризует вектор асимптотического направления.
Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.
Решение: положим, что b ? 0 и поделим на b 2 , получим: a 11 ( a / b ) 2 +2a 12 a / b +a 22 =0 из этого квадратного уравнения найдем a / b .
т.к. у линий гиперболического и параболического типов I 2 ? 0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I 2 >0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:
( a , b ) 1 =(a,b)
( a , b ) 2 =(-a,b)
Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y 2 =2px
y 2 -2px=0
u(x,y)= y 2 +0, y=0
( a , b )=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C ? 0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.
Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.
Вектор n – нормальный вектор плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках:
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C) и М(x 0 ;y 0 ;z 0 ). Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax 0 +By 0 +Cz 0 =-D
A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0
-
Уравнение плоскости ч/з 3 точки.
Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
М 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ); М 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ); М 3 (x 3 ;y 3 ;z 3 )
Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.
М 1 М x-x 1 y-y 1 z-z 1
М 1 М 2 x 2 -x 1 y 2 -y 1 z 2 -z 1 =0
М 1 М 3 x 3 -x 1 y 3 -y 1 z 3 -z 1
-
Параметрическое ур-е плоскости.
Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V 1 ;V 2 ;V 3 ); U(U 1 ;U 2 ;U 3 ); M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), тогда плостость имеет вид: система: x=x 0 +V 1 t+U 1 s и y=y 0 +V 2 t+U 2 s и z=z 0 +V 3 t+U 3 s
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, поэтому n 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ); n 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.