Реферат: Критерий Попова и методы Ляпунова

 Устойчивость “в малом” и “ в большом” . Связь критерия Попова с методами Ляпунова. Пусть линейная система устойчива в се кторе (0, К )-см рис . 5.9; начальная часть не линейной характеристики , соответствующая -Х 2 < X < X 1 , лежит внутри этого сектора , а при выходе х за указанные пределы выхо дит за пределы сектора . Очевидно , что в данном случае нельзя утверждать , что равнов есие системы будет абсолютно устойчиво , т.е . устойчиво в целом при любых f(l), но м ы можем утверждать , что при таких SUP | F ( L )|< , которы е вызывают отклонение х , не выходящее за пределы (-х 2 , х 1 ), б удет имеет место устойчивость положения равно весия в больш ом и , конечно , устойчивос ть в малом. С помощью критерия Попова легко можно пояснить , когда применим первый метод Ляп унова . Заменим нелинейную характеристику в то чке равновесия касательной . Если линейная сис тема устойчива (а не находится на границе устойчив ости ), то небольшой подъем лу ча 0К в положение 0К 1 не нарушит устойчивости , то при этом начальная часть нелинейной характ еристики попадает внутрь сектора (0, К 1 ), и равновесие н елинейной системы будет устойчивым в малом . Если же мы имеем критический случа й , то касательная является границей се ктора , внутри которого линейная система устой чива , и мы не можем судить об устойчив ости равновесия нелинейной системы. Функция Ляпунова может быт пос троена различными спосо бами для одной и той же системы . Для каждой такой частной функции Ляпунова можн о построить свою область устойчивости в п ространстве параметров , но каждая такая облас ть не будет истинной областью устойчивости , поскольку второй метод Л япунова дает лишь достаточное условие устойчивости. Р . Калман показал , что область устойчи вости , даваемая критерием Попова , будет огибаю щей для всех областей устойчивости , определяе мых функциями Ляпунова вида “квадратичная фор ма плюс нелинейность” , т.е . бу дет шире и ближе к истинной области устойчивости , чем любая из областей устойчивости , опре деляемая по функции Ляпунова заданной формы. Большим преимуществом метода Попова являе тся то , что он без особых затруднений распространяется на системы с запаздывание м и распределенными параметрами , а так же на некоторые классы импульсных систем управления. Рассмотренные критерии - квадратичный , вытекающ ий и него круговой и критерий Попова - различаются степенью подробности учета специфиче ских особенностей нелинейных ха рактеристик , что отражается на ширине области устойчиво сти , даваемой тем или иным критерием , т.е . лучшим критерием является тот , который дает более широкую область устойчивости. Если сравнивать круговой критерий с м етодом Попова , то первый дает более узкую область устойчивости , если исследуется класс стационарных нелинейностей , но зато охв атывает более широкий класс нелинейностей .