6
Понятие о разностных уравнениях.
Уравнение вида: , (1)
где - фиксированное число, а - произвольное натуральное число, - члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением -го порядка.
Решить разностное уравнение означает найти все последовательности , удовлетворяющие уравнению (1). Разностные уравнения часто используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также для приближенного решения дифференциальных уравнений.
Разностное уравнение вида , (2)
где - некоторые функции от , называется линейным разностным уравнением -го порядка.
В случае, когда коэффициенты являются константами, методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим это для разностных уравнений второго порядка:
. (3)
Так же как и для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (3) определяется по формуле:
, (4)
где - некоторое частное решение уравнения (3), - общее решение соответствующего однородного уравнения (случай ). Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо сначала решить характеристическое уравнение
. (5)
После этого могут возникнуть варианты:
1) Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по формуле:
, (6)
где и - произвольные константы.
2) Оба корня действительны и равны , тогда
. (7)
3) В случае комплексно-сопряженных корней
. (8)
Модель рынка с запаздыванием сбыта
В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. И в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута по времени относительно цены , т.е. будем полагать, что , в то время как функция спроса одномоментно отвечает цене: . Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены:
. (9)
Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного объемов товара: , откуда с учетом (9) имеем
или .
Поделив обе части этого равенства на и переходя для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка относительно цены с постоянными коэффициентами:
. (10)
Пусть тогда .
Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (10) удобно искать в виде постоянной величины:
; .
После подстановки в это уравнение оно легко определяется:
. (11)
Величина является равновесной ценой. Общее решение уравнения (10) определяется формулой
, (12)
где - произвольная величина.
Пусть в начальный момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (12) находим
или , так что в окончательном виде получаем
или . (13)
Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров задачи и формул (9) динамика цены во времени может быть разной. Здесь возможны три варианта:
1) - текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее;
2) - текущая цена стремится к равновесной цене с колебаниями около нее;
3) - две точки равновесия: в зависимости от четности имеет место колебание от одной точки к другой.
а
б
в
0 1 2 3 4
Рис. 1
Рыночная модель с запасами
В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением и спросом . Примем следующие допущения.
1. Спрос и предложение представляют собой линейные функции от текущей цены :
. (14)
2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна относительной величине запаса с некоторым коэффициентом (при наличиИ запаса цена на товар в последующий период падает):
. (15)
Подстановка соотношений (14) в (15) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены :
или
. (16)
Пусть , тогда , следовательно . Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (16) удобно искать в виде постоянной величины:
.
Величина является равновесной ценой, или стационарным решением уравнения (16) Общее решение уравнения (10) определяется формулой
.
Пусть - значение цены в начальный момент времени , тогда решение этого уравнения имеет вид
или . (17)
Сходимость во времени к значению существенно зависит от величины и знака основания степени в (17) . Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи:
1) , откуда - монотонная сходимость к равновесному значению ;
2) , откуда , т.е. ;
3) , откуда - сходимость цены к равновесному значению с колебаниями около него;
4) , т.е. - две точки равновесия: и , на каждом шаге по времени цена «перескакивает» с одного значения на другое;
5) , т.е. - цена расходится с увеличением амплитуды колебаний.
а
б
в
г
д
0 1 2 3 4
Рис.2
Модель делового цикла Самуэльсона – Хикса
Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего применение линейных разностных уравнений, модель делового цикла Самуэльсона – Хикса (динамический вариант модели Кейнса). В этой модели используется принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением
, (18)
где коэффициент - фактор акселерации, - величина инвестиций в период , - величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что
. (19)
Условие равенства спроса и предложения имеет вид:
. (20)
Подставляя в (20) выражение для из (18) и выражение для из (19), находим:
. (21)
Уравнение (21) известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины и постоянны).
Замечание. Можно легко найти частное решение уравнения (21), если предположить, что
, (22)
т.е., использовав в качестве частного решения равновесное решение . Из (21) в силу (22) имеем
, (23)
откуда . (24)
Заметим, что выражение в формуле (24) носит название мультипликатора Кейнса и является одномерным аналогом матрицы полных затрат.
Паутинные модели рынка
Свойство непрерывной функции (теорема о существовании корня) находит неожиданное применение в математических моделях рынка. Как известно, две основные категории рыночных отношений – спрос и предложение. И то и другое зависят от многих факторов, среди которых главный – это цена товара. Обозначим цену товара , объем спроса , величину предложения . При малых имеем (спрос превышает предложение), при больших , наоборот, . Считая и непрерывными функциями, приходим к заключению, что существует такая цена , для которой , т.е. равен спрос равен предложению. Цена называется равновесной, спрос и предложение при этой цене также называются равновесными.
Установление равновесной цены – одна из главных задач рынка. Рассмотрим простую модель поиска равновесной цены – так называемую паутинную модель. Она объясняет феномен регулярно повторяющихся циклов изменения объемов продажи и цен.
Предположим, что решение о величине объема производства принимается в зависимости от цены товара в предыдущий период времени.
Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 3.
Пусть в начальной точке предложение товара имеет значение и выбрано так в зависимости от цены товара в предыдущий период. Поскольку эта цена больше равновесной, то на кривой спроса ей соответствует объем покупок . Производителю, исходя из такой информации о состоянии рынка, приходится опустить цену товара до величины . Цена ниже равновесной, поэтому на рынке увеличивается спрос до величины . На кривой предложения этой величине соответствует цена предложения и т.д. В этом случае спираль сходится к точке рыночного равновесия .
Рис. 3
Впрочем, описанная «спираль» не всегда «скручивается». В некоторых случаях она может и «раскручиваться», как показывает, например, рис. 4.
От каких свойств функций и зависит сходимость или расходимость описанной выше «спирали»? Этот вопрос очень сложен. Поэтому, укажем лишь один фактор, влияющий на сходимость – эластичность (спроса, соответственно, предложения).
Рис. 4.
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно не простая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева в 1936 году, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и используют аппарат матричного анализа.
Балансовые соотношения.
Предположим, что производственная сфера хозяйства представляет собой отраслей, каждая их которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год.
Введем следующие обозначения:
- общий объем продукции -й отрасли (ее валовой выпуск);
- объем продукции -й отрасли, потребляемый -й отраслью при производстве объема продукции ;
- объем продукции -й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление, удовлетворение общественных потребностей и т.д.
Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой продукт -й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме балансовые отношения имеют вид
, (10)
Уравнения (24) называются соотношениями баланса.
Линейная модель многоотраслевой экономики.
В. Леонтьевым, на основании анализа экономики США в период перед Второй Мировой Войной, был установлен важный факт: в течение длительного времени величины меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления -й отраслью продукции -й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа.
В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции -й отрасли объема нужно использовать продукцию -й отрасли объема , где - постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности,
; (24)
Тогда уравнение (24) можно переписать в виде системы уравнений:
(25)
Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:
(26)
Тогда система уравнений (25) в матричной форме имеет вид
(27)
Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (26) это уравнение носит название модели Леонтьева.
Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления .
Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Необходимо решить систему линейных уравнений (27) с неизвестной матрицей и заданным вектором . Также система (27) имеет особенности, вытекающие из прикладного характера данной задачи: все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательными.
Продуктивные модели Леонтьева
Матрица , все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (27) – вектор , все элементы которого неотрицательны.
Для уравнения типа (27) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.
Теорема. Если для матрицы с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами уравнения (27) имеет решение с неотрицательными компонентами, то матрица продуктивна.
Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы (27) хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрица была продуктивной. Перепишем систему (27) с использованием единичной матрицы в виде
. (28)
Если существует обратная матрица , то существует и единственное решение уравнения (28)
. (29)
Матрица называется матрицей полных затрат.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы .
Первый критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны.
Второй критерий продуктивности. Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превышает единицы:
, (30)
причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.
Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложном примере.
Пример 1. Таблица 1 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период. Требуется найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30.
Таблица 1.
№ п/п | Отрасль | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
1 | 2 | 3 |
1 | Добыча и переработка углеводородов | 5 | 35 | 20 | 40 | 100 |
2 | Энергетика | 10 | 10 | 20 | 60 | 100 |
3 | Машиностроение | 20 | 10 | 10 | 10 | 50 |
Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (24) и (26),
Матрица удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид
Требуется найти новый вектор валового выпуска , удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица не изменяется. В таком случае компоненты , , неизвестного вектора находятся из системы уравнений, которая, согласно (25), имеет в данном случае вид
В матричной форме эта система выглядит следующим образом:
, или ,
где матрица имеет вид
Отсюда расчитывается новый вектор как решение этого уравнения баланса:
.
Найдем обратную матрицу (матрицу полных затрат) , с использованием формулы
(31)
Определитель матрицы ,
так что обратная матрица и решение указанной системы уравнений существуют. Вычисление обратной матрицы дается с точностью до третьего знака:
.
Заметим, что найденная обратная матрица удовлетворяет первому критерию продуктивности матрицы .
Теперь можно вычислить вектор валового выпуска :
.
Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на , уровень энергетики – на и выпуск машиностроения – на по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 1.
Динамическая модель Леонтьева
Так как мы рассмотрели продуктивную модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал и «одномоментными». В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период , определяется не текущим выпуском, а выпуском в последующий период . Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и перенастройки, мобилизацией внутренних ресурсов и изменение транспорта сырья и т.д.
С учетом этого система уравнений баланса, в предположении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью, будет иметь следующий вид
(32)
Соотношения (32) составляют систему линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами .
Как и прежде, введем вектор валового выпуска , матрицу прямых затрат и вектор конечного потребления . Тогда систему (32) можно переписать в матричной форме:
. (33)
Теперь задача формулируется следующим образом: при заданном векторе конечного потребления и матрице определить динамику (изменение во времени) вектора валового выпуска .
Одна из основных задач прогноза с использованием динамической модели Леонтьева такова: известны динамика вектора конечного потребления и вектор валового выпуска в начальный момент времени ; требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени . Эту задачу можно решить при помощи формулы:
. (33)
Пример 2. Обратимся к данным табл. 1. Пусть известны продуктивная матрица , а также заданные в момент времени векторы валового выпуска и , указанные в этой таблице:
Требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени , если все компоненты вектора конечного потребления увеличиваются на за каждый период.
Решение. Вектор конечного потребления, согласно условию задачи, имеет вид
.
Применяя формулу (33), получаем .
Теперь нужно вычислить матрицу изменяя состояния и вектор и подставить их в это уравнение. Выполняя указанные действия, получим решение поставленной задачи:
.
Таким образом, при указанном темпе роста продукта конечного потребления необходимо через два временных цикла увеличить компоненты валового выпуска соответственно на , и по сравнению с исходными величинами на начальный момент времени.
Список литературы:
-
А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов – Математика в экономике - М: Финансы и статистика, 1999
-
М. С. Красс – Математика для экономических специальностей – М: ИНФРА – М., 1999
-
Математика в экономике: Учебно-методическое пособие // Под редакцией Н. Ш. Кремера – М: Финстатинформ, 1999